Succession d’épreuves indépendantes : schéma de Bernoulli et loi binomiale

Dans ce cours, Sophie, la professeure de mathématiques, aborde le thème familier des probabilités. Il fait suite au travail effectué en première sur les variables aléatoires, les arbres pondérés et la notion d’indépendance d’événements. La séance aborde essentiellement la succession d’épreuves indépendantes et plus particulièrement le schéma de Bernoulli du nom du mathématicien suisse.

Trois questions flash permettent de revenir sur la notion d’indépendance (et de dépendance) avec les modèles de référence : lancer de pièces, lancer de dés, tirage de boules dans une urne. La quatrième question est un problème de dénombrement.

La séance se poursuit par l’illustration sur un exemple du modèle de la succession d’épreuves indépendantes, pour s’intéresser plus spécifiquement à la succession d’épreuves indépendantes identiques à deux issues et définir l’épreuve de Bernoulli, ainsi que la variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli. La propriété de l’espérance et de la variance de la loi de Bernoulli est démontrée.

La répétition d’épreuves identiques de Bernoulli de façon indépendante conduit à définir le schéma de Bernoulli et la loi du nombre de succès : la loi binomiale.

La séance se termine par l’explication et l’utilisation de l’expression à l’aide des coefficients binomiaux au travers de trois exercices d’application directe.

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Successions d’épreuves indépendantes

La probabilité d’une issue (x₁,…, x_n) est égale au produit des probabilités des composantes x_i, 1 ≤ i ≤ n.

Epreuve de Bernoulli

► Définition
Soit une épreuve comportant deux issues (succès et échec). On note p la probabilité de succès.
Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 sinon.
On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p.

► Propriétés
E(X) = p
V(X) = pq , où q = 1 - p

Répétition d’épreuves identiques de Bernoulli de façon indépendante : vers la loi binomiale

► Définitions
Soit n un entier naturel non nul.
Un schéma de Bernoulli est la répétition n fois d’une même épreuve de Bernoulli de paramètre p, de manière indépendante
On note X la variable aléatoire égale au nombre de succès, X est à valeurs dans {0; 1; …; n}.
On dit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre n et p , notée Ɓ(n,p).

► Théorème
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre n et p , notée Ɓ(n,p). 

Pour tout k ∈ {0; 1; …; n}.

p^k (1-p)^n-k

► Propriétés
X suit une loi binomiale de paramètre n et p.
E(X) = np
V(X) = np(1 - p)    σ(X) = √np(1 - p)