Somme de variables aléatoires

Dans ce cours, Christophe, prof de mathématiques propose de prolonger celui de la classe de première sur les variables aléatoires en considérant des modèles probabilistes où interviennent deux ou plusieurs variables aléatoires, l’intérêt se portant sur leur somme, et notamment sur l’espérance et la variance de cette somme. Au début du cours, quatre questions flash permettent de revenir sur les notions de première (variable aléatoire, loi de probabilité, espérance, variance) avec les modèles de référence : lancer de pièces, lancer de dés, tirage de boules dans une urne… Deux exercices d’application directe permettent de réinvestir les notions du cours, à la fin de la vidéo, l’une pour la loi binomiale, l’autre pour un échantillon de taille n d’une loi de probabilité.

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Somme de deux variables aléatoires

► Exemple 1

On lance deux fois un dé cubique équilibré. On suppose que les lancers sont indépendants.

On note S la somme des deux chiffres obtenus.

On peut écrire : S = C₁ et C_2, 

• C₁ est la variable aléatoire correspondant au chiffre obtenu au premier lancer,
• C₂ est la variable aléatoire correspondant au chiffre obtenu au second lancer.

On peut décomposer cette variable aléatoire, comme une somme de 2 variables aléatoires.

► Exemple 2

On a programmé un algorithme qui permet de  répondre au hasard et de façon indépendante aux cinq questions d’un Q.C.M. que l’on souhaite tester. 

Le Q.C.M. est noté sur 5 points.

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte. Une bonne réponse rapporte 1 point et une mauvaise réponse ne retire aucun point.

On peut écrire : N = N₁ +N₂ + N₃ + N₄ + N₅

• N est la variable aléatoire correspondant au total des points obtenus. Nous avons vu que N suit la loi binomiale de paramètres 5 et 1/4.
• Chaque N_i est la variable aléatoire correspondant au nombre de points obtenus à une question. Chaque N_i suit la loi de Bernoulli de paramètre 1/4.

Application à l’espérance, la variance et l’écart type de la loi binomiale

Partant d’une variable aléatoire Z, somme des variables aléatoires X et Y, la question posée est de savoir si on peut obtenir facilement l’espérance et la variance de Z connaissant celles de X et Y. Si cela ne pose pas de problèmes pour l’espérance, une vigilance est portée sur la variance où il convient de supposer X et Y indépendantes.

• Linéarité de l'espérance : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = aE(X).
• Dans le cadre de la succession d’épreuves indépendantes, exemples de variables indépendantes X,Y et relation d’additivité V(X + Y) = V(X) + V(Y). Relation V(aX) = a2V(X).
• Échantillon de taille n d’une loi de probabilité : liste (X1,…,Xn) de variables indépendantes identiques suivant cette loi.
• Espérance, variance, écart type de la somme S_n = X₁ + … + X_n et de la moyenne M_n = S_n /n.