Récurrence : raisonnement et étude de suites

Dans ce cours, la professeure de mathématiques, Sophie, aborde l'un des grands principes de raisonnement en mathématiques : le raisonnement par récurrence.

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Histoire de la récurrence en mathématiques

Véritable porte d’entrée sur l’infini, le raisonnement par récurrence a été anticipé par des mathématiciens de l’Antiquité, du Moyen Âge et de la Renaissance. Il a été formalisé comme principe fondamental de raisonnement par Pascal, et surtout par Peano et ses collaborateurs. Dans cette leçon, on s’intéresse à ce nouveau raisonnement puis, dans une deuxième partie, aux suites définies par une relation de récurrence.

Quatre questions flash permettent de revenir sur deux modes de définition d’une suite (par une formule explicite ou par une relation de récurrence) et sur la manipulation des indices.

Après avoir précisé ce qu’est une proposition en mathématiques, trois propositions sont présentées. Les deux premières peuvent être démontrées avec des raisonnements déjà étudiés, la troisième nécessite un nouveau type de démonstration. Pour réaliser une cascade de dominos, il faut s’assurer que tous les dominos sont bien positionnés, c’est-à-dire que la chute de chaque domino entraîne celle du suivant et bien évidemment, il faut faire chuter le premier. À partir de cette image mentale, les étapes du raisonnement par récurrence sont énoncées : initialisation, hérédité, conclusion. Deux premiers exercices conduisent à mener la démonstration d’une propriété par récurrence, puis deux théorèmes permettant l’étude d’une suite définie par une relation de récurrence sont énoncés.

Trois exercices d’application directe permettent de réinvestir les notions du cours.

Raisonnement par récurrence

On va s’intéresser aux propositions dépendant d’un entier naturel n.

► Définition

En mathématiques, une proposition est une phrase qui peut être vraie ou fausse.

► Etapes 

P(n) une proposition dépendant d’un entier naturel n.

Les deux étapes du raisonnement par récurrence :

Étape 1 : initialisation

On vérifie que la proposition que l’on souhaite démontrer est vraie pour l’entier n₀ : on vérifie P(n₀).

Étape 2 : hérédité

On montre que si la proposition est vraie pour un entier quelconque k ≥ n₀ alors elle est vraie pour l’entier qui suit, c’est-à-dire l’entier k + 1 : on montre que pour tout k ≥ n₀ , [P(k) ⟹ P(k + 1) ]

On aura ainsi montré que la proposition est vraie pour tout entier supérieur ou égal à n_0.

Étude de suites définies par une relation de récurrence

► Théorème

Si la suite (u_n) est croissante et majorée, alors (u_n) converge.

Si la suite (u_n) est décroissante et minorée, alors (u_n) converge.

(u_n) est majorée par M signifie que pour tout entier naturel n, ) u_n ≤ M.

(u_n) est minorée par m signifie que pour tout entier naturel n, ) u_n ≥ m.

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et ℓ ∈ I. Soit (u_n) une suite à valeurs dans I. Si (u_n) converge vers ℓ alors f(u_n) converge vers f(ℓ).