Orthogonalité et distances dans l’espace

Dans ce cours, le professeur de mathématiques, Christophe, propose de travailler sur l'orthogonalité dans l'espace. L’extension à l’espace du produit scalaire de deux vecteurs donne un outil efficace pour les problèmes de distance et d’orthogonalité. Au début du cours, quatre questions flash permettent de revenir sur la géométrie plane : utilisation du produit scalaire, orthogonalité, vecteur normal. Et à la fin de la vidéo, trois exercices d’application directe permettent de réinvestir les notions du cours.

Téléchargez le support de cours en PDF.

Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace

Le choix pertinent de représentants permet de définir le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace et de conserver les propriétés de bilinéarité et de symétrie, et à donner les formules de polarisation. 

► Choisir des représentants pour faire comme dans le plan...

Etant donnés deux vecteurs non nuls de l’espace u→ et v→, on considère trois points A, B et C tels que : AB→ = u→ et AC→ = v→

On définit ainsi le produit scalaire des vecteurs u→ et v→ par : u→ . v→ = AB x AC x cos(BAC)

► Cela nous permet de :

• conserver les propriétés de bilinéarité et de symétrie du produit scalaire dans l’espace et ainsi les formules de polarisation.

  ||u→ + v→||² = (u→ + v→) . (u→ + v→) = ||u→||² + 2 u→ . v→ + ||v→||²

  u→ . v→ = 1/2 (||u→ + v→||² - ||u→||² - ||v→||²)

• caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs de l’espace par la nullité de leur produit scalaire.
  Deux vecteurs non nuls u→ et v→ sont orthogonaux si, et seulement si, u→ . v→ = 0

Caractérisation par le produit scalaire de l’orthogonalité de deux vecteurs

Le produit scalaire permet aussi de caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs et de définir les notions de droites orthogonales de l’espace, de droite orthogonale à un plan de l’espace et de projeté orthogonal d’un point sur un plan.

De ce fait, nous pouvons définir les notions de :

• droites orthogonales de l’espace
• droite orthogonale à un plan de l’espace
• projeté orthogonal d’un point sur un plan

Caractérisation d’un plan par un point et un vecteur non nul

Il permet enfin de caractériser un plan par un point et un vecteur non nul (vecteur normal). 

Soit un plan passant par le point A et un vecteur n→. Le point M va appartenit au plan dont le vecteur n est un vecteur normal si, et seulement si les vecteurs AM→ et n→ sont orthogonaux.

AM→ . n→ = 0

Base orthonormée, repère orthonormé

La définition d’une base orthonormée et d’un repère orthonormé conduit à donner les expressions du produit scalaire et de la norme, pour obtenir l’expression de la distance entre deux points et l’équation cartésienne d’un plan.

► On peut construire : 

• une base orthonormée de l'espace ;
• un repère orthonormé de l'espace.

► On va pouvoir ainsi donner : 

• l’expression de la norme d’un vecteur en fonction de ses coordonnées dans une base orthonormée.
• l’expression du produit scalaire de deux vecteurs en fonction de leurs coordonnées dans une base orthonormée.
• la détermination d’une équation cartésienne d’un plan.