Les limites

Dans ce cours, le professeur de mathématiques, Stéphane, aborde la notion de limite. Sa définition fait suite à des problèmes que se sont posés de nombreux mathématiciens.

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Introduction historique et définition

Le cours présente quelques-uns de ces mathématiciens et les calculs qu’ils ont entrepris : l’aire sous une parabole pour Archimède au III^e siècle avant J.-C., le volume d’un cylindre pour Liu-Hui au III^e siècle et le volume d’un paraboloïde pour Ibn al Haytham au XI^e siècle. Ces problèmes nécessitaient un calcul à l’infini que des problèmes de la physique, comme la chute des corps ou les orbites des planètes allaient développer à nouveau au XVII^e siècle. Cependant Leibniz et Newton en ont deux visions et deux pratiques différentes. La mise au point de la notion de limite était nécessaire et sera faite par une définition précise que Cauchy donnera au XIX^e siècle dans son cours d’analyse.

Avant de donner une définition, trois questions flash posent le problème du comportement à l’infini d’une suite ou d’une fonction, avec des questions de plus en plus formalisées.

La définition de la limite infinie et finie d’une suite est donnée avec une formulation rigoureuse et une visualisation graphique. Elle se prolonge par une définition des limites finies et infinies d’une fonction en l’infini, avec les exemples des fonctions de référence. L’interprétation graphique conduit à définir la notion d’asymptote horizontale à une courbe représentative de fonction, puis d’asymptote verticale pour la limite infinie en un nombre.

La détermination de la limite d’une suite ou d’une fonction dans des cas simples conduit à revenir sur les limites usuelles et à préciser les propriétés des opérations sur les limites. Les formes indéterminées sont levées en utilisant les croissances comparées, les encadrements ou la factorisation par le terme prépondérant dans une somme.

En fin de séance, trois exercices permettent de réinvestir les notions du cours, avec l’étude des limites aux bornes de l’ensemble de définition d’une fonction et l’étude de la convergence d’une suite.

Limite infinie d’une suite

► Définitions

La suite (u_n) tend vers +∞ si tout intervalle de la forme [A;+∞[ contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.

On dit que (u_n) diverge vers +∞ et on note lim(n→+∞) u_n = +∞.

La suite (u_n) tend vers -∞ si tout intervalle de la forme ]-∞;A]  contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.

On dit que (u_n) diverge vers −-∞ et on note  lim(n→+∞) u_n = -∞.

Limite finie d’une suite

► Définition

La suite (u_n) converge vers le nombre réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs u_n à partir d’un certain rang.

On note lim(n→+∞) u_n⁡ = ℓ.

Limite infinie à l’infini des fonctions

► Définition

On dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ et on note lim(x→+∞)⁡ f(x)= +∞, lorsque tout intervalle de la forme ]A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

Limite finie à l’infini des fonctions et interprétation graphique

► Définition

On dit que f(x) tend vers ℓ quand x tend vers +∞ et on note lim(x→+∞)⁡ f(x) = ℓ, lorsque tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

► Définition : asymptotes parallèles à l’axe des abscisses

Lorsque lim(x→+∞)⁡ f(x) = ℓ ou lim(x→-∞)⁡ f(x)= ℓ, la droite d’équation y=ℓ est dite asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f.

Limite infinie en un nombre des fonctions et interprétation graphique

► Définitions

On dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers a et on note lim(x→a)⁡ f(x) = +∞, lorsque tout intervalle de la forme ]A:+∞[  contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche de a.

Lorsque f(x) tend vers +∞ quand x tend vers a avec x < a, on parle de limite à gauche que l’on note lim(x→a x<a)⁡ f(x) = +∞.

Lorsque f(x) tend vers +∞ quand x tend vers a avec x > a, on parle de limite à gauche que l’on note lim(x→a x>a)⁡ f(x) = +∞.

Comment déterminer la limite d’une suite ou d’une fonction dans des cas simples ?

la limite d’une somme de suites ou de fonctions

la limite d’un produit de suites ou de fonctions

la limite d’un quotient de suites ou de fonctions

Croissances comparées

► Propriétés : Pour tout entier naturel n non nul,

lim(x→+∞) e^x/xⁿ = +∞                    

lim(x→-∞) xⁿe^x = 0                   

lim(x→+∞) ln⁡(x)/xⁿ = +∞                  

lim(x→0 x>0) xⁿln⁡(x) = 0

► Autres limites associées : Pour tout entier naturel n non nul,

lim(x→-∞) e^x/xⁿ = 0                    

lim(x→+∞) xⁿe^x = +∞                   

lim(x→0 x>0) ln⁡(x)/xⁿ = -∞                  

lim(x→+∞) xⁿln⁡(x) = +∞

Encadrement

► Théorème

Si pour tout entier n ≥ n₀, v_n ≤ u_n ≤ w_n et lim(n→+∞)⁡ v_n = lim(n→+∞)⁡ w_n = ℓ, alors lim(n→+∞)⁡ u_n = ℓ.

Si pour tout réel x ∈ I, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et lim(x→+∞)⁡ g(x) = lim(x→+∞) h(x) = ℓ, alors lim(x→+∞)⁡ f(x) = ℓ.