La fonction logarithme népérien

Dans ce cours, la professeure de mathématiques Sophie propose de découvrir une nouvelle fonction : la fonction logarithme népérien.

Cette fonction est liée à la fonction exponentielle étudiée en classe de première. On doit le nom de cette fonction au mathématicien écossais John Neper pour ses travaux sur les logarithmes. Cette nouvelle fonction va permettre de modéliser de nouvelles situations et de résoudre un plus grand nombre de problèmes.

Quatre questions flash permettent de revenir sur les propriétés de la fonction exponentielle.

L’unique solution de l’équation e^x = a avec a > 0 conduit à définir le nombre ln⁡(a), puis la fonction logarithme népérien, notée ln.

Une transformation graphique de la courbe représentant la fonction exponentielle permet de visualiser la courbe représentant la fonction logarithme népérien et de lire graphiquement les informations démontrées lors de l’étude de fonction : ensemble de définition, continuité, dérivabilité, variations, signe, limites.

Le cours se poursuit par la fonction dérivée du logarithme puis par ses propriétés algébriques pour se terminer par l’énoncé du théorème des croissances comparées.  

Trois exercices d’application directe permettent de réinvestir les notions du cours.

Téléchargez le support de cours en PDF.

De la fonction exponentielle… à la fonction logarithme népérien

Tout nombre réel strictement positif possède un unique antécédent par la fonction exp.

► Définition

L’équation e^x = a avec a > 0  possède une unique solution.

Cette solution est appelée logarithme népérien de a et notée ln⁡(a) ou ln⁡ a.

On définit une nouvelle fonction qui à chaque réel a associe l’unique antécédent par la fonction exp⁡.

Il suffit de faire pivoter et de retourner la courbe de la fonction exp⁡ pour obtenir la courbe de la fonction ln⁡. 

On échange ainsi l’axe des abscisses et celui des ordonnées.

Etude de la fonction ln

La fonction ln est dérivable, mais quelle est sa dérivée ?

Posons la fonction dérivable sur ]0 ; +∞[définie par  f(x) = e^{ln ⁡x}

► Propriété

La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et ln′⁡(x) = 1/x

Propriétés algébriques

► Propriété : Relation fonctionnelle

Pour tous réels a et b, strictement positifs, ⁡

• ln⁡(ab) = ln ⁡a + ln ⁡b⁡

► Propriétés

Pour tous réels a et b strictement positifs et tout entier relatif n.

• ln⁡(1/a) = -ln ⁡a
• ln(a/b) = ln⁡ a - ln ⁡b
• ln⁡ aⁿ = n ln ⁡a
• ln⁡√a= (1/2) ln ⁡a

Croissances comparées

► Théorème des croissances comparées

Pour tout entier naturel n,

• lim(x→+∞)  e^x/xⁿ = +∞
• lim(x→-∞) xⁿ e^x = 0  

Pour tout entier naturel n ≥ 1,

• lim(x→+∞) ln⁡ x/xⁿ = 0
• lim(x→0)  xⁿ ln⁡ x = 0