Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Dans ce cours, la professeure de mathématiques, Sophie, propose d'étudier les notions de continuité et les théorème des valeurs intermédiaires.

Quatre questions flash permettent de revenir sur la notion de limite en un point, l’étude des variations d’une fonction, la recherche du nombre de solutions d’une équation sur un intervalle et la lecture d’un tableau pour préciser une valeur approchée de la solution d’une équation.

Une approche graphique conduit à donner une définition de la continuité d’une fonction en un point, puis sur un intervalle.

Le théorème des valeurs intermédiaires est ensuite présenté, ainsi que son corollaire pour le cas des fonctions continues strictement monotones sur un intervalle, afin d’étudier les solutions d’une équation du type f(x) = k : existence, unicité, encadrement.

La méthode de la dichotomie est proposée pour affiner l’encadrement d’une solution d’une équation du type f(x) = 0.

Trois exercices d’application directe permettent de réinvestir les notions du cours.

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Continuité : approche graphique et définition

On retiendra qu’une fonction est continue s’il n’est pas nécessaire de lever le crayon pour tracer sa courbe représentative.

Si f est continue en a, plus on se rapproche de a et plus f(x) se rapproche de f(a).

► Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant a.

f est continue en a si et seulement si 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂)

La fonction f est continue sur I si et seulement si f est continue pour tout x appartenant à I.

Toutes les fonctions usuelles que l’on a déjà étudiées sont continues sur leur ensemble de définition : les fonctions affines, les fonctions polynômes, la fonction inverse, la fonction exponentielle …

Le théorème des valeurs intermédiaires

Les seules hypothèses dont je dispose : f est continue sur [a ;b] et je connais les valeurs de f(a) et f(b).

Impossible de tracer une courbe susceptible de représenter f sans passer au moins une fois par toutes les ordonnées comprises entre f(a) et f(b).

► Théorème (admis)

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].

Quel que soit le réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un x₀ ∈ [a ; b] tel que f(x₀) = k.

► Cas particulier

f est continue et strictement monotone sur [a ; b].

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b].

Quel que soit le réel k compris entre f(a) et f(b) il existe un unique x₀ ∈ [a ; b] tel que f(x₀) = k.

Par convention une flèche « qui monte » ou « qui descend » dans un tableau de variations signifie que la fonction est continue et strictement monotone.

Approcher une solution du type f(x) = 0  

f est une fonction continue et strictement monotone sur [a;b]

f(a) et f(b) sont de signes contraires.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut affirmer que l’équation f(x)= 0 possède une unique solution sur [a ; b] que l’on appellera x₀. On a donc x₀ ∈ [a ; b].

On appelle 𝑚m le réel (a+b)/2 ; il se situe au milieu de l’intervalle [a ;b].

Algorithme de dichotomie